เราจะหาความน่าจะเป็นในการชนะเกมที่ซับซ้อนจนสถานะต่างๆ เกินจำนวนอะตอมในจักรวาลได้อย่างไร? เมื่อคณิตศาสตร์วิเคราะห์กลายเป็นไปไม่ได้ เราจึงหันไปใช้คอมพิวเตอร์เป็นห้องแล็บในการทดลอง การจำลอง: วิธีการที่ใช้การทดลองเพื่อหาความน่าจะเป็นอย่างเป็นรูปธรรม ถือเป็นการจำลอง ซึ่งทำหน้าที่เป็นสะพานเชื่อมระหว่างความน่าจะเป็นทางทฤษฎีกับการประยุกต์ใช้จริง
โครงสร้างของงานทดลอง
ใจกลางของการจำลองทุกครั้งคือการจำลองกระบวนการแบบสุ่ม (สโตแคสติก) โดยแทนที่การแก้สมการรูปแบบปิด เราจะจำลองพฤติกรรมของระบบผ่านการทดลองซ้ำๆ เพื่อแปลผลลัพธ์ทางกายภาพให้เป็นข้อมูลเชิงคณิตศาสตร์ เราใช้ ตัวแปรชี้วัด.
เพื่อวัดผลลัพธ์ เราจะกำหนดตัวแปรสุ่มที่บ่งชี้ความสำเร็จหรือความล้มเหลวของเหตุการณ์ เช่น ในเกมลูกเต๋า:
$$X = \begin{cases} 1 & \text{ถ้าผลรวมของลูกเต๋าเท่ากับ 6} \\ 0 & \text{ในกรณีอื่นๆ} \end{cases}$$
สำหรับเกมที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น ไพ่ซอลิแทร์ เราจะนิยาม $X_i$ เป็นผลลัพธ์ของการทดลองลำดับที่ $i$:
$$X_i = \begin{cases} 1 & \text{ถ้าเกมลำดับที่ } i \text{ ชนะ} \\ 0 & \text{ในกรณีอื่นๆ} \end{cases}$$
สำคัญอย่างยิ่งว่า ค่าคาดหมาย $E[X_i] = P\{\text{ชนะในซอลิแทร์}\}$
การเปลี่ยนผ่านเชิงทฤษฎี
ทำไมถึงได้ผล? ความถูกต้องของการจำลองพึ่งพา กฎของจำนวนมากแบบเข้มงวด (SLLN). เราจะนิยามตัวประมาณค่าของเราเป็นค่าเฉลี่ยตัวอย่าง:
$$\sum_{i=1}^n \frac{X_i}{n} = \frac{\text{จำนวนเกมที่ชนะ}}{\text{จำนวนเกมที่เล่น}}$$
นี่คือตัวประมาณค่าที่ไม่มีความเอนเอียง โดยตามกฎของจำนวนมากแบบเข้มงวด เราทราบว่า $\sum_{i=1}^n \frac{X_i}{n}$ จะเกิดการเปลี่ยนผ่านไปสู่ $P\{\text{ชนะในซอลิแทร์}\}$ ด้วยความน่าจะเป็น 1 เมื่อ $n \to \infty$
ตัวอย่าง: ปัญหาซอลิแทร์
ลองนึกภาพว่าเราต้องคำนวณความน่าจะเป็นที่แน่นอนในการชนะเกมซอลิแทร์ที่ซับซ้อนมาก การนับเชิงการจัดเรียงเชิงวิเคราะห์อาจเป็นไปไม่ได้เลย เนื่องจากจำนวนสถานะของไพ่ที่มีอยู่มหาศาล แทนที่จะทำเช่นนั้น เราจะเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ให้เล่นเกม $n = 1,000,000$ เกมโดยใช้กลยุทธ์คงที่ จากการติดตามค่า $X_i$ สำหรับแต่ละเกม ค่าเศษส่วนของจำนวนเกมที่ชนะจะให้การประมาณค่าความน่าจะเป็นในการชนะได้อย่างแม่นยำสูง ซึ่งหากใช้วิธีนับทั่วไปจะไม่สามารถทำได้